扩展欧几里得算法

  • 裴蜀定理：对于任意正整数 $a、b$ ，一定存在非零整数 $x、y$ ，使得 $ax + by = (a, b)$ （最大公约数）

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1.AcWing877.扩展欧几里得算法

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#include<iostream>
using namespace std;

// (a, b) = (b, a mod b)
// return b ? gcd(b, a % b) : a;
int gcd(int a, int b) {
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// ax + by = (a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//递归求
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}

2.AcWing878.线性同余方程

  • 给定$a、m、b$，求一个整数 $x$ 使得 $ax≡b(mod~m)$

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#include<iostream>
using namespace std;

// (a, b) = (b, a mod b)
// return b ? gcd(b, a % b) : a;
int gcd(int a, int b) {
    if (!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// ax + by = (a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//递归求
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (long long)x * (b / d) % m);
    }
    return 0;
}