前n个数字二进制中1的个数

给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。

1.一般思路

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            int x = i;
            int count = 0;
            while (x) {
                if (x % 2 == 1) count++;
                x /= 2;
            }
            ans.push_back(count);
        }
        return ans;
    }
};

2.位运算

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            int count = 0;
            int x = i;
            while (x != 0) {
                count++;
                x = x & (x - 1);
            }
            ans.push_back(count);
        }
        return ans;
    }
};

3.动态规划

对于所有的数字，只有奇数和偶数两种：

  • 奇数：二进制表示中，奇数一定比前面那个偶数多一个 1，因为多的就是最低位的 1
  • 偶数：二进制表示中，偶数中 1 的个数一定和除以 2 之后的那个数一样多。因为最低位是 0，除以 2 就是右移一位，也就是把那个 0 抹掉而已，所以 1 的个数是不变的

所以我们可以得到如下的状态转移方程：

  • dp[i] = dp[i-1]，当i为奇数
  • dp[i] = dp[i/2]，当i为偶数
  • dp[i] = dp[i/2] + i % 2：进一步合并为

通过位运算进一步优化：

  • i / 2 可以通过 i >> 1 得到；
  • i % 2 可以通过 i & 1 得到；
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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans(n + 1, 0);
        for (int i = 0; i <= n; ++i) ans[i] = ans[i >> 1] + (i & 1);
        return ans;
    }
};