数塔问题

1.onlineJ43：数塔问题

有一个由数字组成的三角形数塔，站在上一层的某个点，只能到达其下方左右的两个点。现在请找到一条从上到下的路径，使得路径上所有数字相加之和最大

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1.递推法从上向下求和

  1. 由数塔中到达任意一点的数字和sum = 左上方数字和suml or 右上方数字和sumr + 该数字数值num
  2. 知到达该点最大和为ans[x][y] = max(ans[x - 1][y - 1], ans[x - 1][y]) + num[x][y]==关键==
  3. 遍历最后一行，找出最大的数字即为结果

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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int n;
int num[1005][1005];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            scanf("%d", &num[i][j]);
        }
    }
    //1.从两个方向取数值大的方向max(num[i - 1][j - 1], num[i - 1][j]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            num[i][j] += max(num[i - 1][j - 1], num[i - 1][j]);
        }
    }
    int ans = 0;
    //2.遍历最后一行，找出最大的数字即为结果
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        ans = max(ans, num[n][i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

2.递推法从下向上求和

  1. 由数塔中到达任意一点的数字和sum = 左下方数字和suml or 右下方数字和sumr + 该数字数值num，
  2. 知到达该点最大和为num[x][y] = max(num[x + 1][y], num[x + 1][y + 1]) + num[x][y]==关键==
  3. 对整个数塔处理后，最大值即为(1, 1)点处的数值

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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int n, num[1005][1005];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            scanf("%d", &num[i][j]);
        }
    }
    //1.从两个方向取数值大的方向max(num[x + 1][y], num[x + 1][y + 1]);
    for(int i = n; i > 0; --i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            num[i][j] += max(num[i + 1][j], num[i + 1][j + 1]);
        }
    }
    //2.对整个数塔处理后，最大值即为(1, 1)点处的数值
    printf("%d\n", num[1][1]);
    return 0;
}

2.onlineJ590：数塔狂想曲

如下图是一个数塔，映射到该数塔上行走的规则为：从左上角的点开始，向下走或向右下走直到最底层结束。

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路径最大和是 1+8+5+4+4=221+8+5+4+4=22，1+8+5+3+5=221+8+5+3+5=22 或者 1+8+0+8+5=221+8+0+8+5=22

小 S 觉得这个问题 so easy，于是他提高了点难度，他每次 ban 掉一个点，然后询问你不走该点的最大路径和。当然他上一个询问被 ban 掉的点过一个询问就会恢复。

如果被 ban 掉后不存在任意一条路径，则输出 −1。

1.利用最大值、次大值输出预处理答案

  1. 利用数塔问题的两种解法，从上向下和、从下向上和可以求出经过某点(x, y)最大数字和数组
  2. 找到每一行的最大值(记录下标)、次大值(记录数值)
  3. 对于某一次询问(x, y)，判断被ban的值是否为最大值;如果不是输出最大值，否则直接输出次大值

总述：将数塔输入并存储在二维数组中，利用数塔问题的两种解法将绿色、蓝色二维数组求出

求出黑色二维数组（经过某点所能获得的最大和），最后通过记录最大值、次大值来求出结果

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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

//n:数塔行数、m:询问次数、utd:从上向下求解的数组、dtu:从下向上求解的数组、ans:经过某点最大和数组
int n, m, num[1005][1005], utd[1005][1005], dtu[1005][1005], ans[1005][1005];
//mmax记录最大值、mmax_ind记录最大值下标、mmax2记录次大值
int mmax[1005], mmax_ind[1005], mmax2[1005];

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            scanf("%d", &num[i][j]);
        }
    }
    //1.利用数塔问题的两种解法，从上向下和、从下向上和可以求出经过某点(x, y)最大数字和数组
    //(1)从上向下求和，并存入数组utd中
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            utd[i][j] = max(utd[i - 1][j - 1], utd[i - 1][j]) + num[i][j];
        }
    }
    //(2)从下向上求和，并存入数组dtu中
    for(int i = n; i > 0; --i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            dtu[i][j] = max(dtu[i + 1][j], dtu[i + 1][j + 1]) + num[i][j];
        }
    }
    //(3)通过从上向下和、从下向上和可以求出经过某点(x, y)最大数字和ans数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            ans[i][j] = utd[i][j] + dtu[i][j] - num[i][j];
        }
    }
    //2.找到每一行的最大值(记录数值、下标)、次大值(记录数值)
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        //定义临时变量m、m2、ind
        int m = 0, m2 = 0, ind = 0;
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            if(m < ans[i][j]){
                //(1)遍历第i行记录第i行的最大值和下标
                m2 = m;//原来的最大值赋值给次大值
                m = ans[i][j];
                ind = j;
            }else if(m2 < ans[i][j]){
                //(2)遍历第i行记录第i行的次大值
                m2 = ans[i][j];
            }
        }
        mmax[i] = m, mmax_ind[i] = ind, mmax2[i] = m2;
    }
    //3.对于某一次询问(x, y)，判断被ban的值是否为最大值;如果不是输出最大值，否则直接输出次大值
    for(int i = 0; i < m; ++i){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(x == 1){
            printf("-1\n");
        }else if(mmax_ind[x] == y){
            //(1)x行的最大值被ban，输出x行的次大值mmax2
            printf("%d\n", mmax2[x]);
        }else{
            //(2)x行的最大值未被ban，输出x行的最大值mmax
            printf("%d\n", mmax[x]);
        }
    }
    return 0;
}